Không thời gian trong vật lý thiên văn Toán học của thuyết tương đối rộng

Không chỉ là một trong những phương trình đẹp của vật lý toán, phương trình trường Einstein phi tuyến có hệ quả quan trọng đó là chỉ một số ít các nghiệm chính xác được biết mà có liên quan tới vật lý thiên văn. Những nghiệm này thu được trong một số các điều kiện giới hạn và với những đối xứng đặc biệt, hoặc theo thời gian hoặc theo không gian hoặc là cả không gian và thời gian. Trong phần này đề cập tới một số nghiệm chính xác của phương trình trường Einstein, hai nghiệm liên quan tới lỗ đen và một nghiệm liên quan tới mô hình Vũ trụ. Hai nghiệm đầu tiên sẽ bỏ qua ảnh hưởng của hằng số vũ trụ trong khi nghiệm thứ ba sẽ đề cập tới nó.

Lỗ đen không quay: Nghiệm Schwarzschild

Nghiệm dễ nhất trong số các nghiệm chính xác của phương trình trường Einstein do Karl Schwarzschild tìm ra (1916) chỉ vài tháng sau khi Einstein tìm ra phương trình đúng của thuyết tương đối rộng (tháng 11 năm 1915).[48] Đây là nghiệm cho không thời gian có đối xứng cầu, tĩnh[49] và trong chân không. Nó được biết đến rộng rãi là mêtric Schwarzschild và một định lý quan trọng liên quan tới nó, định lý Birkhoff, được chứng minh vào năm 1923 rằng nghiệm Schwarzschild là nghiệm duy nhất của phương trình trường Einstein cho không thời gian đối xứng cầu trong chân không. Nghiệm Schwarzschild là nghiệm miêu tả không thời gian bên ngoài một ngôi sao tương đối tính đối xứng cầu, độc lập với sự co giãn cầu xuyên tâm của sao.

Trong hệ tọa độ cầu { t , r , θ , ϕ } {\displaystyle \{t,r,\theta ,\phi \}} , nguyên tố đoạn của mêtric Schwarzschild là

d s 2 = − ( 1 − 2 M r ) d t 2 + ( 1 − 2 M r ) − 1 d r 2 + r 2 ( d θ 2 + s i n 2 θ d ϕ 2 ) {\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)dt^{2}+\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+sin^{2}\theta d\phi ^{2})}

(221)

trong đó M là tổng khối lượng-năng lượng của hệ. Chú ý rằng bởi vì không thời gian miêu tả bằng mêtric (221) là cong, hệ tọa độ cầu tương ứng không giống với hệ tọa độ cầu trong không thời gian phẳng. Ví dụ, độ dài riêng của chu vi đường tròn nằm tại r = 0 và trên mặt phẳng θ = π / 2 {\displaystyle \theta =\pi /2} (đường xích đạo) là C c i r c ( r ) = ∮ g ϕ ϕ d ϕ {\displaystyle {\mathcal {C}}_{circ}(r)=\oint {\sqrt {g_{\phi \phi }}}d\phi } trong khi khoảng cách xuyên tâm riêng (proper radial distance) giữa hai điểm nằm trên hai vỏ xuyên tâm tại các bán kính r 1 , r 2 {\displaystyle r_{1},r_{2}} là

∫ r 1 r 2 g r r d r = ∫ r 1 r 2 ( 1 − 2 M r ) − 1 / 2 d r > r 2 − r 1 {\displaystyle \int _{r_{1}}^{r_{2}}{\sqrt {g_{rr}}}dr=\int _{r_{1}}^{r_{2}}\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)^{-1/2}dr>r_{2}-r_{1}}

(222)

từ đó chứng tỏ sự tăng trong khoảng cách xuyên tâm riêng lớn hơn sự tăng trong khoảng cách tọa độ. Hơn nữa, nếu hai sự kiện có cùng tọa độ không gian, tức là d r = d ϕ = d θ = 0 {\displaystyle dr=d\phi =d\theta =0} khoảng tọa độ thời gian dt giữa hai sự kiện là khác với khoảng thời gian riêng d τ {\displaystyle d\tau } và tỉ số của chúng bằng

d t d τ = 1 ( 1 − 2 M / r ) 1 / 2 ≠ 1 {\displaystyle {\frac {dt}{d\tau }}={\frac {1}{(1-2M/r)^{1/2}}}\neq 1}

(223)

Nói cách khác, tại những khoảng cách hữu hạn từ gốc, tọa độ thời gian chạy chậm hơn so với thời gian riêng. Giả sử có hai đồng hồ nằm tại các khoảng cách r2 > r1, từ mỗi đồng hồ phát ra tín hiệu gửi tới một quan sát viên ở xa vô tận trong cùng một khoảng thời gian dt, nghĩa là

d τ 1 = ( 1 − 2 M / r 1 ) 1 / 2 d t , d τ 2 = ( 1 − 2 M / r 2 ) 1 / 2 d t {\displaystyle d\tau _{1}=(1-2M/r_{1})^{1/2}dt,\quad d\tau _{2}=(1-2M/r_{2})^{1/2}dt}

(224)

Tỉ số giữa hai thời gian riêng

d τ 2 d τ 1 = ( 1 − 2 M / r 2 ) 1 / 2 ( 1 − 2 M / r 1 ) 1 / 2 {\displaystyle {\frac {d\tau _{2}}{d\tau _{1}}}={\frac {(1-2M/r_{2})^{1/2}}{(1-2M/r_{1})^{1/2}}}}

(225)

mà khi chuyển sang tần số mà quan sát viên đo được ta có

ν 1 ν 2 = ( 1 − 2 M / r 2 ) 1 / 2 ( 1 − 2 M / r 1 ) 1 / 2 ≈ 1 − M r 2 + M r 1 > 1 {\displaystyle {\frac {\nu _{1}}{\nu _{2}}}={\frac {(1-2M/r_{2})^{1/2}}{(1-2M/r_{1})^{1/2}}}\approx 1-{\frac {M}{r_{2}}}+{\frac {M}{r_{1}}}>1}

(226)

Đây chính là hiệu ứng dịch chuyển đỏ do hấp dẫn, photon giảm tần số khi nó di chuyển ra xa khỏi giếng thế hấp dẫn. Vì photon có nguyên tố đoạn đặc trưng ds2 = 0, đối với các photon chuyển động xuyên tâm ta có d r / d t = ± ( 1 − 2 M / r ) {\displaystyle dr/dt=\pm (1-2M/r)} , với dấu + cho photon chuyển động ra bên ngoài và dấu - cho photon chuyển động vào trong. Từ đó, khác với không thời gian phẳng, mà có d r / d t = ± 1 {\displaystyle dr/dt=\pm 1} , tuyến thế giới của các photon trong mặt phẳng (t, r) không còn là những đường thẳng.Thêm vào đó, từ phương trình thứ nhất trong (226) dễ dàng nhận ra rằng khi r 1 → 2 M {\displaystyle r_{1}\rightarrow 2M} thì ν 1 / ν 2 → ∞ {\displaystyle \nu _{1}/\nu _{2}\rightarrow \infty } hoặc tương đương ν 2 → 0 {\displaystyle \nu _{2}\rightarrow 0} . Kết quả này phản ánh tính chất là mặt tại bán kính Schwarzschild, r = 2M, là một mặt đặc biệt nhưng chính quy của nghiệm Schwarzschild, mà photon không thể thoát ra ngoài. Bề mặt này, theo định nghĩa toán học mà tại đó hàm mêtric g t t = 0 {\displaystyle g_{tt}=0} , tách không thời gian ra thành hai vùng không có liên hệ nhân quả với nhau và được gọi là chân trời sự kiện. Hơn nữa, ánh sáng chỉ có thể đi vào mặt này mà không thể thoát ra được, do vậy nghiệm Schwarzschild còn được gọi là nghiệm miêu tả lỗ đen Schwarzschild.

Chú ý rằng mặc dù trong mêtric (226) nó kỳ dị tại r = 2M, nhưng kỳ dị này chỉ là do sự lựa chọn hệ tọa độ bao phủ không thời gian và nó không phải là kỳ dị vật lý. Nhận ra điều này làm các nhà vật lý thay đổi hiểu biết về mêtric Schwarzschild. Thật vậy, khi tính toán bất biến độ cong (205) cho không thời gian Schwarzschild, K = 48 M 2 / r 6 {\displaystyle K=48M^{2}/r^{6}} , tại r = 2M thu được giá trị hữu hạn và nó chỉ không xác định tại r = 0, và đây chính là kỳ dị vật lý. Các nhà vật lý đã giới thiệu các hệ tọa độ phù hợp để nghiên cứu không thời gian gần chân trời sự kiện, như hệ tọa độ Kruskal, hệ tọa độ Eddington-Filkenstein... đã loại trừ được kỳ dị toán học tại r = 2M.[50]

Chuyển động của hạt thử có khối lượng nghỉ m trong không thời gian Schwarzschild có thể dẫn ra sau khi giải phương trình trắc địa (181). Chi tiết về việc giải phương trình như thế có thể xem trong d'Inverno (1992). Về thực hành, một trong những con đường đơn giản nhất là sử dụng phương pháp biến phân với các số hạng Lagrangian trong (182) và coi thời gian riêng τ {\displaystyle \tau } như là một tham số aphin

2 L = L 2 = g μ ν x ˙ μ x ˙ ν = − ( 1 − 2 M r ) d t ˙ 2 + ( 1 − 2 M r ) − 1 d r ˙ 2 + r 2 ( d θ ˙ 2 + s i n 2 θ d ϕ ˙ 2 ) {\displaystyle 2L={\mathcal {L}}^{2}=g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }=-\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)d{\dot {t}}^{2}+\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)^{-1}d{\dot {r}}^{2}+r^{2}(d{\dot {\theta }}^{2}+sin^{2}\theta d{\dot {\phi }}^{2})}

(227)

từ đây chúng ta dẫn ra các phương trình Euler–Lagrange sau

d d τ [ ( 1 − 2 M r ) d t d τ ] = 0 , {\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\left[\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\right]=0,}

(228)

d d τ [ ( 1 − 2 M r ) − 1 d r d τ ] = r [ ( d θ d τ ) 2 + s i n 2 θ ( d ϕ d τ ) 2 ] − M r 2 [ ( d t d τ ) 2 + ( 1 − 2 M r ) − 2 ( d r d τ ) 2 ] , {\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\left[\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)^{-1}{\frac {dr}{d\tau }}\right]=r\left[\left({\frac {d\theta }{d\tau }}\right)^{2}+sin^{2}\theta \left({\frac {d\phi }{d\tau }}\right)^{2}\right]-{\frac {M}{r^{2}}}\left[\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)^{2}+\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)^{-2}\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}\right],}

(229)

d d τ ( r 2 d θ d τ ) = r 2 s i n θ c o s θ ( d ϕ d τ ) 2 , {\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\left(r^{2}{\frac {d\theta }{d\tau }}\right)=r^{2}sin\theta cos\theta \left({\frac {d\phi }{d\tau }}\right)^{2},}

(230)

d d τ ( r 2 s i n 2 θ d ϕ d τ ) = 0 , {\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\left(r^{2}sin^{2}\theta {\frac {d\phi }{d\tau }}\right)=0,}

(231)

Các phương trình (228) và (231) về cơ bản phát biểu rằng có thể bỏ qua được các tọa độ t , ϕ {\displaystyle t,\phi } và cho phép xác định hai hằng số của chuyển động lần lượt là E ~ := E / m {\displaystyle {\tilde {E}}:=E/m} , năng lượng riêng của hạt và, ℓ ~ := p ϕ {\displaystyle {\tilde {\ell }}:=p_{\phi }} là mômen động lượng phương vị riêng. Thêm vào đó, do đối xứng cầu, chúng ta có thể coi một mặt phẳng quỹ đạo ban đầu bất kỳ nào làm mặt phẳng đường xích đạo hay ban đầu đặt θ = π / 2 , θ / d τ = 0 {\displaystyle \theta =\pi /2,\quad \theta /d\tau =0} . Từ phương trình (230) có d 2 θ / d τ 2 = 0 {\displaystyle d^{2}\theta /d\tau ^{2}=0} và θ {\displaystyle \theta } sẽ vẫn không đổi như mong đợi với chuyển động trong mặt phẳng.[51] Kết quả là, phương trình đường trắc địa cho hạt có khối lượng trong không thời gian Schwarzschild thu gọn thành[52]

d t d τ = ( 1 − 2 M r ) − 1 E ~ , {\displaystyle {\frac {dt}{d\tau }}=\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)^{-1}{\tilde {E}},}

(232)

d r d τ = [ E ~ 2 − ( 1 − 2 M r ) ( 1 + ℓ 2 ~ r 2 ) ] 1 / 2 , {\displaystyle {\frac {dr}{d\tau }}=\left[{\tilde {E}}^{2}-\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)\left(1+{\frac {\tilde {\ell ^{2}}}{r^{2}}}\right)\right]^{1/2},}

(233)

d θ d τ = 0 , {\displaystyle {\frac {d\theta }{d\tau }}=0,}

(234)

d ϕ d τ = ℓ ~ r 2 . {\displaystyle {\frac {d\phi }{d\tau }}={\frac {\tilde {\ell }}{r^{2}}}.}

(235)

Phân tích phương trình (233) giúp làm sáng rõ sự khác biệt giữa lý thuyết của Newton với thuyết tương đối rộng, và có thể viết gọn phương trình (233) thành

( d r d τ ) 2 = E ~ 2 − V 2 ( r ) , {\displaystyle \left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}={\tilde {E}}^{2}-V^{2}(r),}

(236)

mà chúng ta đã định nghĩa thế hiệu dụng V bằng

V ( r ) = ( 1 − 2 M r ) 1 / 2 ( 1 + ℓ 2 ~ r 2 ) 1 / 2 , {\displaystyle V(r)=\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)^{1/2}\left(1+{\frac {\tilde {\ell ^{2}}}{r^{2}}}\right)^{1/2},}

(237)

mà nó trở thành thế hiệu dụng Newton ở khoảng cách lớn[53] tức là

V ( r ) ≈ ( 1 − M r ) ( 1 + ℓ 2 ~ 2 r 2 ) = 1 − M r + ℓ 2 ~ 2 r 2 + O ( 1 r 3 ) := V N , {\displaystyle V(r)\approx \left(1-{\frac {M}{r}}\right)\left(1+{\frac {\tilde {\ell ^{2}}}{2r^{2}}}\right)=1-{\frac {M}{r}}+{\frac {\tilde {\ell ^{2}}}{2r^{2}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{r^{3}}}\right):=V_{N},}

(238)

Phương trình xuyên tâm (233) cũng dùng để phân loại các loại quỹ đạo khả dĩ khác nhau và điều này phụ thuộc cơ bản vào số lượng nhiều nhất và nhỏ nhất mà thế năng hữu hiệu (effective potential) sẽ nhận được tương ứng khi cho trước một giá trị của mômen động lượng (nếu l ~ = 0 {\displaystyle {\tilde {l}}=0} quỹ đạo đơn giản là xuyên tâm và sẽ nối bất kỳ điểm nào với gốc tọa độ). Giả sử rằng, đỗi với mỗi mômen động lượng riêng ta thu được thế hữu hiệu có giá trị địa phương lớn nhất với V>1, và giá trị địa phương nhỏ nhất giống như minh họa trong hình bên trái của hình 1.5, mà tương đương với l ~ / M = 4 , 1 {\displaystyle {\tilde {l}}/M=4,1} . Trong trường hợp này, sử dụng năng lượng riêng như là một tham số cho giảm dần, các trường hợp quỹ đạo có thể là:

Quỹ đạo bắt (capture orbit): Thế hữu hiệu và mức năng lượng hằng số không cắt nhau. Cho dù mômen động lượng lớn đến mức nào, luôn có một giá trị năng lượng làm cho hạt chuyển động tới gốc. Điều này tương phản với lý thuyết Newton, khi thế hữu hiệu trở lên phân kỳ khi r → 0 {\displaystyle r\rightarrow 0} và cho dù mômen động lượng có nhỏ đến cỡ nào (nhưng khác 0) thì hạt trong quỹ đạo Newton sẽ không bao giờ đạt tới gốc.[54]
Quỹ đạo tròn nhưng không ổn định: Nó nằm tại giá trị địa phương lớn nhất của thế hữu hiệu, rcirc, u với d r / d τ = 0 {\displaystyle dr/d\tau =0} , chỉ cần một nhiễu loại nhỏ sẽ làm cho hạt di chuyển sang quỹ đạo lớn hơn hoặc nhỏ hơn.
Quỹ đạo hypebol: Quỹ đạo này tương ứng với hạt có mức năng lượng ở xa vô tận lớn hơn 1 di chuyển về gốc cho tới khi đạt tới vị trí xuyên tâm cực tiểu, d r / d τ = 0 {\displaystyle dr/d\tau =0} , tức là điểm quặt (turning point) rồi sau đó hạt chuyển động ra xa vô tận.
Quỹ đạo parabol: Quỹ đạo này tương ứng với hạt có mức năng lượng ở xa vô tận bằng 1 di chuyển về gốc cho tới khi đạt tới điểm quặt rb. Đối với trường hợp l ~ / M = 4 {\displaystyle {\tilde {l}}/M=4} điểm quặt trùng với quỹ đạo tròn không ổn định rcirc, u và nằm tại 4M (xem hình)
Quỹ đạo ellip: tương ứng với quỹ đạo của hạt có mức năng lượng nhỏ hơn 1 mà có hai điểm quặt r1 và r2.[55]
Quỹ đạo tròn ổn định: tương ứng với vị trí cực tiểu của thế hữu hiệu rcirc, s với d r / d τ = 0 {\displaystyle dr/d\tau =0} và bất kỳ một nhiễu loạn nhỏ nào tác động tới hạt thì hạt sẽ vẫn trở lại quỹ đạo tròn ổn định.

AAA

Tập tin:Schwarzschild geodesics.svgHình bên trái: Thế hữu hiệu V(r) đối với giá trị của mômen động lượng riêng l ~ / M = 4 , 1 {\displaystyle {\tilde {l}}/M=4,1} . Lần lượt là các loại quỹ đạo khác nhau:

Các giá trị của mômen động lượng riêng mà tại đó thế hữu hiệu có cả giá trị địa phương nhỏ nhất và lớn nhất, tức là ∂ r V ( r ) = 0 {\displaystyle \partial _{r}V(r)=0} và vì thế mà cũng tồn tại quỹ đạo tròn, được cho bởi

l ~ 2 = M r 2 r − 3 M {\displaystyle {\tilde {l}}^{2}={\frac {Mr^{2}}{r-3M}}}

(239)

Để đảm bảo vế phải lớn hơn 0, nên chỉ tồn tại các điểm cực trị với l ~ / M ≥ 2 3 {\displaystyle {\tilde {l}}/M\geq 2{\sqrt {3}}} . Thêm vào đó, với l ~ / M = 2 3 ≃ 3 , 46 {\displaystyle {\tilde {l}}/M=2{\sqrt {3}}\simeq 3,46} các quỹ đạo tròn ổn định và không ổn định trùng nhau, dẫn tới điểm uốn (inflection point) tại bán kính rms = 6M hay còn gọi là bán kính ổn định biên (marginally stable radius). Quỹ đạo tương ứng gọi là quỹ đạo tròn ổn định trong cùng (innermost stable circular orbit) nó biểu thị bán kính nhỏ nhất mà có thể tồn tại một quỹ đạo tròn ổn định, thường đánh dấu cạnh trong cùng của đĩa bồi tụ xung quanh lỗ đen. Cũng có thể xác định quỹ đạo ổn định biên đối với hạt phi khối lượng (chẳng hạn photon) và bằng rph = 3M.

Sự biến đổi của thế hữu hiệu đối với mỗi giá trị mômen động lượng riêng được minh họa trong hình 1.5 bên phải với hình chèn vào thể hiện giá trị của thế hữu hiệu là cực đại (mà trùng với mức năng lượng của quỹ đạo tròn không ổn định) và cho bởi

V e x t r 2 ( r ) = 4 M 2 ( r / 2 M − 1 ) 2 r ( r − 3 M ) {\displaystyle V_{extr}^{2}(r)={\frac {4M^{2}(r/2M-1)^{2}}{r(r-3M)}}}

(240)

Đặt Vextr(r) = 1, khi ấy rmb = 4M là bán kính quỹ đạo nhỏ nhất tương ứng với quỹ đạo tròn không ổn định. Một hạt ở xa vô tận ( E ~ = 1 {\displaystyle {\tilde {E}}=1} ) bắt đầu chuyển động trên quỹ đạo parabol để tới r = rmb nơi nó có thể trên một quỹ đạo tròn nhưng trong trạng thái cân bằng không ổn định.

Tóm lược, các quỹ đạo tròn không ổn định đối với

3 M = r p h ≤ r < r m s = 6 M , ⟺ 2 3 ≤ ℓ ~ / M < ∞ {\displaystyle 3M=r_{ph}\leq r<r_{ms}=6M,\iff 2{\sqrt {3}}\leq {\tilde {\ell }}/M<\infty }

(241)

trong khi quỹ đạo tròn ổn định đối với

6 M = r m s ≤ r < ∞ , ⟺ 2 3 ≤ ℓ ~ / M < ∞ {\displaystyle 6M=r_{ms}\leq r<\infty ,\iff 2{\sqrt {3}}\leq {\tilde {\ell }}/M<\infty }

(242)

Sử dụng phương trình (240) sẽ không khó để ước lượng được mức năng lượng tương ứng của quỹ đạo tròn bên trong ổn định nhất bằng E ~ m s = 8 / 9 ≃ 0 , 943 {\displaystyle {\tilde {E}}_{ms}={\sqrt {8/9}}\simeq 0,943} và kết quả đơn giản này gợi ra một kết luận quan trọng: Xét một hạt chuyển từ quỹ đạo tròn sang một quỹ đạo tròn lân cận và bị mất phần năng lượng trong quá trình chuyển tiếp này (ví dụ vật chất trong đĩa bồi tụ quanh lỗ đen). Tổng năng lượng bị mất khi hạt chuyển động xoáy ốc từ khoảng cách xa vô tận tới quỹ đạo bên trong ổn định nhất bằng Δ E = ( 1 − E ~ m s ) ≈ 0 , 057 {\displaystyle \Delta E=(1-{\tilde {E}}_{ms})\approx 0,057} , điều này hàm ý rằng hiệu suất biến đổi năng lượng của năng lượng liên kết xấp xỉ bằng 6%. Khi so sánh hiệu suất này với hiệu suất của phản ứng phân hạch hạt nhân (~ 0,1%) hoặc phản ứng tổng hợp hạt nhân (~ 0,4%) rõ ràng là sự bồi tụ vật chất quanh lỗ đen là một trong những quá trình biến đổi năng lượng hiệu quả nhất. Hiệu suất này còn cao hơn đối với lỗ đen quay như nêu ở phần dưới.

Lỗ đen quay: Nghiệm Kerr

Năm 1963, gần 50 năm sau khi Schwarzschild tìm ra nghiệm của ông, nhà toán học Roy Kerr đã tìm ra một nghiệm chính xác dừng đối với phương trình chân không Einstein, miêu tả không thời gian của lỗ đen có tổng khối lượng M và mômen động lượng J.[56] Nghiệm này còn gọi là lỗ đen Kerr và sau đó được chứng minh là duy nhất,[57] nó thu về mêtric Schwarzschild khi mômen động lượng bằng 0. Vì bao gồm sự quay, lỗ đen Kerr không có dạng đối xứng cầu mà là đối xứng quanh trục theo hướng của vectơ mômen động lượng của lỗ đen, hơn nữa nó không còn là nghiệm tĩnh mà là nghiệm dừng.[58] Vì phần lớn ở hệ các thiên thể trong Vũ trụ đều có tính chất quay, nghiệm Kerr được coi là nghiệm gần với thực tại nhất khi nghiên cứu về vùng không thời gian quanh lỗ đen. Không có một định lý tương tự nào như định lý Birkhoff cho lỗ đen quay, mặc dù nó là nghiệm duy nhất, nhưng đối với không thời gian có vật chất bên ngoài thì nó phụ thuộc vào tính chất của nguồn vật chất như sự phân bố khối lượng và mômen động lượng trong trường hợp đối với một ngôi sao tương đối tính.

Chi tiết về cách giải phương trình trường Einstein đối với không thời gian quay để tìm ra nghiệm Kerr có thể xem tại các tài liệu Carmeli (2001); de Felice và Clarke (1990). Ở đây trình bày cách ngắn gọn về cách rút ra mêtric Kerr. Bắt đầu bằng việc khai thác các đối xứng của không thời gian và chọn hệ tọa độ ( t , x 1 , x 2 , ϕ ) {\displaystyle (t,x^{1},x^{2},\phi )} với x1 và x2 là các tọa độ tổng quát và nguyên tố đoạn được viết thành

d s 2 = P d t 2 + 2 Q d t d ϕ + ϱ d ϕ 2 + e 2 μ [ d ( x 1 ) 2 + d ( x 2 ) 2 ] {\displaystyle ds^{2}=Pdt^{2}+2Qdtd\phi +\varrho d\phi ^{2}+e^{2\mu }[d(x^{1})^{2}+d(x^{2})^{2}]}

(243)

trong đó P, Q ϱ , μ {\displaystyle \varrho ,\mu } là các hàm của hai biến x1 và x2. Phương trình Einstein thu về thành một phương trình gọi là phương trình Ernst[59] cho bởi

( ξ ξ ¯ − 1 ) ∇ α ( ∇ α ξ ) = 2 ξ ¯ ( ∇ α ξ ) ( ∇ α ξ ) {\displaystyle (\xi {\bar {\xi }}-1)\nabla ^{\alpha }(\nabla _{\alpha }\xi )=2{\bar {\xi }}(\nabla _{\alpha }\xi )(\nabla ^{\alpha }\xi )}

(244)

với ξ {\displaystyle \xi } là hàm số phức của x1 và x2 và ξ ¯ {\displaystyle {\bar {\xi }}} là liên hợp phức. Hệ tọa độ phỏng cầu ( t , χ , ζ , ϕ ) {\displaystyle (t,\chi ,\zeta ,\phi )} trở lên thuận tiện đối với nghiệm của phương trình Ernst và nó có liên hệ với hệ tọa độ trụ ( t , R , z , ϕ ) {\displaystyle (t,R,z,\phi )} như sau

R = ( M 2 − a 2 ) ( χ 2 − 1 ) ( 1 − ζ 2 ) {\displaystyle R={\sqrt {(M^{2}-a^{2})(\chi ^{2}-1)(1-\zeta ^{2})}}}

(245)

z = M 2 − a 2 χ ζ {\displaystyle z={\sqrt {M^{2}-a^{2}}}\chi \zeta }

(246)

với a là hệ số hằng số. Sử dụng cách hệ tọa độ này và các tính toán đại số, có thể biểu diễn mêtric Kerr thành

d s 2 = − P − 1 [ ( M 2 − a 2 ) e 2 γ ′ ( d χ 2 χ 2 − 1 + d ζ 2 1 − d ζ 2 ) + R 2 d ϕ 2 ] + P ( d t − h d ϕ ) 2 {\displaystyle ds^{2}=-P^{-1}\left[(M^{2}-a^{2})e^{2\gamma '}\left({\frac {d\chi ^{2}}{\chi ^{2}-1}}+{\frac {d\zeta ^{2}}{1-d\zeta ^{2}}}\right)+R^{2}d\phi ^{2}\right]+P(dt-hd\phi )^{2}}

(247)

với

r := M 2 − a 2 χ + M , θ := c o s − 1 ζ {\displaystyle r:={\sqrt {M^{2}-a^{2}}}\chi +M,\quad \theta :=cos^{-1}\zeta }

(248)

P := − ( 1 − 2 M r Σ 2 ) , Σ 2 := r 2 + a 2 c o s 2 θ {\displaystyle P:=-\left(1-{\frac {2Mr}{\Sigma ^{2}}}\right),\quad \Sigma ^{2}:=r^{2}+a^{2}cos^{2}\theta }

(249)

h := − 2 M a r s i n 2 θ Σ 2 − 2 M r , γ ′ := l n [ ( M 2 − a 2 ) − 1 / 2 ( Σ 2 − 2 M r ) 1 / 2 ] {\displaystyle h:=-{\frac {2Marsin^{2}\theta }{\Sigma ^{2}-2Mr}},\quad \gamma ':=ln\left[(M^{2}-a^{2})^{-1/2}(\Sigma ^{2}-2Mr)^{1/2}\right]}

(250)

Ký hiệu J là mômen động lượng liên kết với không thời gian miêu tả bởi phương trình (247), từ đây có thể giải thích trực tiếp tham số a như là mômen động lượng trên một đơn vị khối lượng a:=J/M. Do tham số a trong hệ đơn vị hình học hóa (geometrised unit) có thứ nguyên là độ dài, nó sẽ có ích khi đặt tham số spin không thứ nguyên a ∗ := J / M 2 = a / M {\displaystyle a_{*}:=J/M^{2}=a/M} mà giới hạn bởi − 1 ≤ a ≥ 1 {\displaystyle -1\leq a\geq 1} .

Dạng hệ tọa độ thường gặp để miêu tả mêtric Kerr (mặc dù không phải là thuận tiện nhất) gọi là hệ tọa độ Boyer–Lindquist ( t , r , θ , ϕ ) {\displaystyle (t,r,\theta ,\phi )} mà các tọa độ cầu r và θ {\displaystyle \theta } có liên hệ với các tọa độ phỏng cầu χ , ζ {\displaystyle \chi ,\zeta } thông qua phương trình (248). Trong hệ tọa độ này, mêtric Kerr có dạng

d s 2 = − ( 1 − 2 M r Σ 2 ) d t 2 − 4 M a r Σ 2 s i n 2 θ d t d ϕ + Σ 2 Δ d r 2 + Σ 2 d θ 2 + A Σ 2 s i n 2 θ d ϕ 2 {\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {2Mr}{\Sigma ^{2}}}\right)dt^{2}-{\frac {4Mar}{\Sigma ^{2}}}sin^{2}\theta dtd\phi +{\frac {\Sigma ^{2}}{\Delta }}dr^{2}+\Sigma ^{2}d\theta ^{2}+{\frac {A}{\Sigma ^{2}}}sin^{2}\theta d\phi ^{2}}

(251)

trong đó

Δ := r 2 − 2 M r + a 2 , A := ( r 2 + a 2 ) 2 − a 2 Δ s i n 2 θ {\displaystyle \Delta :=r^{2}-2Mr+a^{2},\quad A:=(r^{2}+a^{2})^{2}-a^{2}\Delta sin^{2}\theta }

(252)

và mêtric (251) thu về mêtric Schwarzschild (221) khi a = 0.

Không giống như nghiệm Schwarzschild, ở đó bề mặt có hiệu ứng dịch chuyển đỏ do hấp dẫn lớn vô hạn trùng với bề mặt chân trời sự kiện, nghiệm Kerr có hai bề mặt dịch chuyển đỏ vô hạn nhận được khi gtt = 0 và giải ra ta có

r s , ± = M ± M 2 − a 2 c o s 2 θ {\displaystyle r_{s,\pm }=M\pm {\sqrt {M^{2}-a^{2}cos^{2}\theta }}}

(253)

Mặt khác chân trời sự kiện có thể xác định khi thành phần grr phân kỳ hay khi đặt Δ = 0 {\displaystyle \Delta =0} và thu được

r e h , ± = M ± M 2 − a 2 {\displaystyle r_{eh,\pm }=M\pm {\sqrt {M^{2}-a^{2}}}}

(254)

với dấu ± {\displaystyle \pm } ký hiệu chân trời sự kiện bên ngoài (+) và bên trong (-). Chú ý rằng trong giới hạn Schwarzschild r e h , − = 0 {\displaystyle r_{eh,-}=0} và r e h , + = 2 M {\displaystyle r_{eh,+}=2M} như đã thấy trước đó.

Vùng ở giữa r s , + {\displaystyle r_{s,+}} được gọi là mặt cầu sản công (ergosphere), và vùng ở giữa r e h , + {\displaystyle r_{eh,+}} gọi là vùng sản công (ergoregion), do không có một quan sát viên tĩnh nào (tức là nhìn thấy một quan sát viên đang đứng yên ở xa vô tận) và toàn bộ không thời gian bị kéo theo sự cùng quay đồng bộ (synchronous corotation) bởi lỗ đen. Đây là hiệu ứng thuần túy tương đối tính, mà được còn gọi là hiệu ứng kéo hệ quy chiếu, không những áp dụng cho vùng sản công (nơi ngay cả photon cũng không tránh khỏi cùng quay) mà còn cho toàn bộ không thời gian, mặc dù hiệu ứng dần yếu đi khi khoảng cách xa dần khỏi lỗ đen. Hệ quả là, một quan sát viên có mômen động lượng bằng không ở xa vô tận (Zero Angular Momentum Observer-ZAMO)[60] sẽ không chuyển động thẳng xuyên tâm về phía lỗ đen nhưng sẽ bắt đầu quay theo hướng quay của lỗ đen và di chuyển về phía nó. Bốn-vận tốc tương ứng trong tọa độ Boyer–Lindquist sẽ là

u μ = ( A Δ Σ 2 ) 1 / 2 ( 1 , 0 , 0 , ω ) {\displaystyle u^{\mu }=\left({\frac {A}{\Delta \Sigma ^{2}}}\right)^{1/2}(1,0,0,\omega )}

(255)

với

ω := 2 M a r A ∝ a r 3 {\displaystyle \omega :={\frac {2Mar}{A}}\propto {\frac {a}{r^{3}}}}

(256)

là vận tốc góc ZAMO, mà giảm theo khoảng cách tỷ lệ với 1/r3 bên ngoài lỗ đen và bằng 0 đối với lỗ đen không quay Schwarzschild. Sự quan trọng của mặt cầu sản công nằm ở chỗ nó có thể thực hiện quá trình vật lý nhằm thu năng lượng quay lấy từ lỗ đen như chỉ ra lần đầu tiên bởi Penrose[61][62] đối với các hạt thử và sau đó các nhà vật lý đặt ra tình huống tương tự đối với từ trường tạo ra bởi đĩa bồi tụ bao quanh lỗ đen quay.[63]

Giống như nghiệm Schwarzschild, cả mặt dịch chuyển đỏ vô hạn và mặt chân trời sự kiện biểu diễn kỳ dị vật lý của không thời gian Kerr và việc tính toán độ cong vô hướng tại những mặt này có thể dễ dàng chứng minh điều đó. Cũng đối với nghiệm Kerr, kỳ dị tọa độ tại chân trời sự kiện có thể loại bỏ bằng cách biến đổi hệ tọa độ theo một-dạng (one-form)

d t ′ = d t + 2 M r Δ d r , d ϕ ′ = d ϕ + a Δ d r {\displaystyle dt'=dt+{\frac {2Mr}{\Delta }}dr,\quad d\phi '=d\phi +{\frac {a}{\Delta }}dr}

(257)

hoặc cụ thể hơn qua biến đổi tọa độ

t ′ = t + 2 M ∫ r d r r 2 − 2 M r + a 2 , ϕ ′ = ϕ + a ∫ d r r 2 − 2 M r + a 2 {\displaystyle t'=t+2M\int {\frac {rdr}{r^{2}-2Mr+a^{2}}},\quad \phi '=\phi +a\int {\frac {dr}{r^{2}-2Mr+a^{2}}}}

(258)

Trong hệ tọa độ mới ( t ′ , r , θ , ϕ ′ ) {\displaystyle (t',r,\theta ,\phi ')} , hay tọa độ Kerr-Schild, nguyên tố đoạn viết thành

d s 2 = − ( 1 − B 2 ) d t ′ 2 − 2 B a s i n 2 θ d t ′ d ϕ ′ + 2 B d t ′ d r − 2 a ( 1 + B ) s i n 2 θ d r d ϕ ′ + ( 1 + B ) d r 2 + Σ 2 d θ 2 + A s i n 2 θ Σ 2 d ϕ ′ 2 {\displaystyle ds^{2}=-(1-B^{2})dt'^{2}-2Basin^{2}\theta dt'd\phi '+2Bdt'dr-2a(1+B)sin^{2}\theta drd\phi '+(1+B)dr^{2}+\Sigma ^{2}d\theta ^{2}+{\frac {Asin^{2}\theta }{\Sigma ^{2}}}d\phi '^{2}}

(259)

với B := 2 M r / Σ 2 {\displaystyle B:=2Mr/\Sigma ^{2}} và thành phần không gian của mêtric không còn chéo hóa nữa. Kỳ dị vật lý của không thời gian Kerr, độc lập với khi mêtric được viết theo dạng (251) hoặc (259) là tại Σ 2 = r 2 + a 2 c o s 2 θ = 0 {\displaystyle \Sigma ^{2}=r^{2}+a^{2}cos^{2}\theta =0} tức là tại r = 0 và θ = π / 2 {\displaystyle \theta =\pi /2} . Kết luận không đúng này có thể tránh được nếu sử dụng một hệ tọa độ tốt hơn gần gốc và đặc biệt sau khi thực hiện biến đổi tọa độ về hệ tọa độ Decartes Kerr-Schild định nghĩa bằng

x := r 2 + a 2 s i n θ c o s [ ϕ ′ − a r c t a n ( a r ) ] , {\displaystyle x:={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}sin\theta cos\left[\phi '-arctan\left({\frac {a}{r}}\right)\right],}

(260)

y := r 2 + a 2 s i n θ s i n [ ϕ ′ − a r c t a n ( a r ) ] , {\displaystyle y:={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}sin\theta sin\left[\phi '-arctan\left({\frac {a}{r}}\right)\right],}

(261)

z := r c o s θ , {\displaystyle z:=rcos\theta ,}

(262)

t := t ′ {\displaystyle t:=t'}

(263)

lúc đó điều kiện Σ 2 = 0 {\displaystyle \Sigma ^{2}=0} trở thành

x 2 + y 2 r 2 + a 2 + z 2 r 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{r^{2}+a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{r^{2}}}=1}

(264)

Phương trình (264) cho thấy mọi điểm trong mặt phẳng z = 0 (mặt phẳng xích đạo) với x 2 + y 2 ≤ a 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}\leq a^{2}} có r = 0, hàm ý rằng kỳ dị vật lý thực sự là một vành trong biểu diễn hệ tọa độ này. Kỳ dị vành này thu về giới hạn kỳ dị Schwarzschild r = 0 trong giới hạn lỗ đen không quay. Dạng hoàn thiện của nguyên tố đoạn trong hệ tọa độ Decartes Kerr-Schild là

d s 2 = − d t 2 + d x 2 + d y 2 + d z 2 + 2 M r 3 r 4 + a 2 z 2 [ d t + r ( x d x + y d y ) a 2 + r 2 + a ( y d x − x d y ) a 2 + r 2 + z r d z ] 2 {\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+{\frac {2Mr^{3}}{r^{4}+a^{2}z^{2}}}\left[dt+{\frac {r(xdx+ydy)}{a^{2}+r^{2}}}+{\frac {a(ydx-xdy)}{a^{2}+r^{2}}}+{\frac {z}{r}}dz\right]^{2}}

(265)

Giống như đối với không thời gian Schwarzschild, việc nghiên cứu chuyển động trắc địa của hạt thử trong mêtric Kerr đem lại những hiểu biết về đặc tính của không thời gian này. Chuyển động hạt trong trường hợp này trở lên phức tạp hơn, và ngoài hằng số năng lượng và động lượng, một hằng số chuyển động mới xuất hiện đó là hằng số Carter.[64] Thêm vào đó chỉ có chuyển động trong quỹ đạo thuộc mặt phẳng xích đạo là chuyển động trên mặt phẳng mà các tính chất của chuyển động này tương tự như đối với của không thời gian Schwarzschild.

AAA

Mêtric Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker

Vì phương trình trường Einstein miêu tả bất kỳ tương tác hấp dẫn nào, nó không những áp dụng cho các vật thể đặc như sao neutron và lỗ đen như đã nêu ở phần trước, mà còn áp dụng cho toàn thể Vũ trụ. Điểm bắt đầu để dẫn ra phương trình miêu tả động lực của Vũ trụ rõ ràng phải dựa trên các dữ kiện quan sát Vũ trụ. Chúng cung cấp các chứng cứ rằng, ít nhất trên phạm vi đủ lớn, Vũ trụ là đồng nhất và đẳng hướng, hay tuân theo nguyên lý vũ trụ học.[65] Thêm vào đó, các quan sát chứng tỏ vũ trụ đang giãn nở[66] và đang thực sự giãn nở gia tốc.[42][43]

Mêtric tổng quát nhất chứa đựng các kết quả quan trắc này, được nghiên cứu bởi Friedman (1922),[67] Lemaître (1931),[68] Robertson (1935)[69] và Walker (1935)[70] và được gọi là mêtric Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker (mêtric FLRW)

d 2 = − d t 2 + a 2 ( t ) [ d r 2 1 − κ r 2 + r 2 ( d θ 2 + s i n 2 θ d ϕ 2 ) ] {\displaystyle d^{2}=-dt^{2}+a^{2}(t)\left[{\frac {dr^{2}}{1-\kappa r^{2}}}+r^{2}(d\theta ^{2}+sin^{2}\theta d\phi ^{2})\right]}

(270)

Mêtric này đánh dấu thời điểm bắt đầu của ngành Vũ trụ học hiện đại. Đầu tiên, chúng ta thấy rằng thành phần hiệp biến thời gian-thời gian của mêtric gtt = -1, do vậy hàm ý rằng tọa độ thời gian t cũng là thời gian riêng đo bởi đồng hồ gắn với thiên hà trong sự giãn nở của không thời gian. Tất cả các thành phần hỗn hợp thời gian-không gian gti bằng 0 là điều kiện cần (và đủ) để cho tất cả các đồng hồ đồng chuyển động (comoving clock) có thể đồng bộ hóa được (synchronizable), như yêu cầu bởi tọa độ thời gian toàn cục t. Sự đồng bộ hóa có thể hiện thực bằng cách giả sử mọi quan sát viên đặt thời gian riêng của họ bằng một số khi mật độ nền đồng nhất đạt tới cùng một giá trị cho trước đo được bởi mọi quan sát viên.

Thành phần không gian trong mêtric (270) được biểu diễn thông qua hệ số bảo giác (conformal factor) a(t) mà được dùng để thay đổi tỉ lệ khoảng cách không gian. Kết quả là hệ số này miêu tả sự giãn nở hay co lại của Vũ trụ và còn được gọi là hệ số tỉ lệ (không nên nhầm lẫn với tham số spin của lỗ đen quay miêu tả ở phần trước), và tính động lực của nó được xác định từ phương trình trường Einstein như sẽ được chỉ ra ở dưới. Mặt khác, hằng số κ {\displaystyle \kappa } được chuẩn hóa và nhận các giá trị -1, 0, 1 và đo độ cong hằng số của mêtric không gian thuần túy. Thực tế, tại một kỷ nguyên bất kỳ, độ cong phải có cùng một giá trị tại mọi vị trí không gian, tức là không đổi nếu giả thiết tính đẳng hướng được bảo toàn. Giá trị κ = 0 {\displaystyle \kappa =0} tương ứng với nguyên tố đoạn phẳng và kết quả là một vũ trụ phẳng và mở. Giá trị κ = 1 {\displaystyle \kappa =1} tương ứng với độ cong không gian dương và miêu tả vũ trụ đóng kín trong một thể tích hữu hạn nhưng không có biên, tương tự như mặt cầu hai chiều. Cuối cùng, giá trị κ = − 1 {\displaystyle \kappa =-1} biểu diễn vũ trụ có độ cong không gian âm và mở.

Chú ý rằng mêtric 270 chỉ cung cấp miêu tả động học của không thời gian tuân theo các giả sử vũ trụ học miêu tả ở trên. Tuy nhiên, khi kết hợp với phương trình trường Einstein và định luật bảo toàn năng lượng ∇ μ ν T μ ν = 0 {\displaystyle \nabla _{\mu \nu }T^{\mu \nu }=0} thì hệ số tỷ lệ chưa được biết a(t) và hằng số độ cong κ {\displaystyle \kappa } được liên hệ với thành phần năng lượng của vũ trụ và phương trình thu được gọi là các phương trình Friedmann:

H 2 := ( a ˙ a ) 2 = 8 3 π ( e + e Λ ) − κ a 2 , a ¨ a = − 4 3 π ( e + 3 p − 2 e Λ ) , e ˙ + 3 H ( e + p ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}H^{2}:=\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}&={\frac {8}{3}}\pi (e+e_{\Lambda })-{\frac {\kappa }{a^{2}}},\\{\frac {\ddot {a}}{a}}&=-{\frac {4}{3}}\pi (e+3p-2e_{\Lambda }),\\{\dot {e}}+3H(e+p)&=0\\\end{aligned}}}

(271 272 273)

với các dấu chấm chỉ đạo hàm theo thời gian vũ trụ t, và H=H(t) là tham số Hubble có thứ nguyên bằng nghịch đảo của thời gian. Chú ý rằng khi đưa ra các phương trình (271) và (272) chúng ta đã giả sử rằng tenxơ năng lượng-động lượng trong phương trình trường Einstein là của chất lỏng lý tưởng với mật độ tổng năng lượng e và áp suất p. Thêm vào đó, chúng ta đã gán hằng số vũ trụ học Λ {\displaystyle \Lambda } với mật độ năng lượng hiệu dụng e Λ := Λ / ( 8 π ) {\displaystyle e_{\Lambda }:=\Lambda /(8\pi )} .

Sử dụng phương trình (271) ta biểu diễn độ cong của không thời gian là

κ a 2 = H 2 ( e + e Λ e c − 1 ) = H 2 ( Ω m + Ω Λ − 1 ) {\displaystyle {\frac {\kappa }{a^{2}}}=H^{2}\left({\frac {e+e_{\Lambda }}{e_{c}}}-1\right)=H^{2}(\Omega _{m}+\Omega _{\Lambda }-1)}

(274)

với

e c := 3 H 2 8 π , Ω m := e e c , Ω Λ := e Λ e c {\displaystyle e_{c}:={\frac {3H^{2}}{8\pi }},\qquad \Omega _{m}:={\frac {e}{e_{c}}},\qquad \Omega _{\Lambda }:={\frac {e_{\Lambda }}{e_{c}}}}

(275)

Ở đây ec là mật độ năng lượng giới hạn trong khi Ω m , Ω Λ {\displaystyle \Omega _{m},\Omega _{\Lambda }} là mật độ năng lượng được chuẩn hóa của 'vật chất' (bao gồm cả đóng góp từ bức xạ) và của hằng số vũ trụ học. Trong thực hành, ec được dùng để xác định tô pô của không gian là đóng ( κ = 1 {\displaystyle \kappa =1} ), phẳng ( κ = 0 {\displaystyle \kappa =0} ), và mở ( κ = − 1 {\displaystyle \kappa =-1} ), nếu như tham số mật độ Ω := Ω m + Ω Λ {\displaystyle \Omega :=\Omega _{m}+\Omega _{\Lambda }} có giá trị lớn hơn 1, bằng 1, hoặc nhỏ hơn 1. Cũng có thể gán mật độ năng lượng hiệu dụng với độ cong không gian khi định nghĩa e κ := − 3 κ / ( 8 π a 2 ) {\displaystyle e_{\kappa }:=-3\kappa /(8\pi a^{2})} và giá trị chuẩn hóa của nó là Ω κ := e κ / e c = − κ / ( a H ) 2 {\displaystyle \Omega _{\kappa }:=e_{\kappa }/e_{c}=-\kappa /(aH)^{2}} do vậy phương trình (274) có thể viết thành

1 = Ω Λ + Ω m + Ω κ ≃ 0 , 68 + 0 , 315 + 0 , 00 {\displaystyle 1=\Omega _{\Lambda }+\Omega _{m}+\Omega _{\kappa }\simeq 0,68+0,315+0,00}

(276)

Phương trình thứ hai trong (276) biểu diễn giá trị ước lượng hiện tại của các mật độ thông qua nhiều phương pháp quan trắc khác nhau, chẳng hạn thông qua bức xạ nền vi sóng vũ trụ [71]. Theo đó, có khoảng 70% thành phần năng lượng trong Vũ trụ trong dạng mà không thể gán cho bất kỳ vật chất nào và vì lý do này mà nó thường được gọi là năng lượng tối. Cũng chú ý rằng, sự đóng góp của vật chất vào mật độ tới hạn có thể chia thành các đóng góp của vật chất baryon thông thường, Ω b {\displaystyle \Omega _{b}} và đóng góp của vật chất tối Ω d m {\displaystyle \Omega _{dm}} loại vật chất mà nguồn gốc của nó hiện tại chưa được biết và sự có mặt của nó không thể suy ra từ việc quan sát trong phổ điện từ mà là từ ảnh hưởng hấp dẫn của nó. Cũng vậy, nhiều quan sát thiên văn cho kết quả tương thích Ω m := Ω b + Ω d m ≃ 0 , 05 + 0 , 26 ≃ 0 , 31 {\displaystyle \Omega _{m}:=\Omega _{b}+\Omega _{dm}\simeq 0,05+0,26\simeq 0,31} . Phương trình (272) cũng nêu bật rằng nhiều mô hình vũ trụ học khác nhau hoặc các tính chất động lực đơn giản khác nhau trong cùng một mô hình có thể nhận được từ nhiều giá trị khác nhau của hằng số vũ trụ học và nhiều phương trình trạng thái khác nhau đối với chất lỏng choán đầy trong vũ trụ, tức là các mối liên hệ khác nhau giữa năng lượng và áp suất. Các mô hình với hằng số vũ trụ học bằng 0 được gọi là các mô hình Friedmann trong khi các mô hình với hằng số vũ trụ học gọi là các mô hình Lemaitre và mô hình nổi bật trong số đó là mô hình vũ trụ de Sitter và mô hình anti-de Sitter. Đó là các vũ trụ trống rỗng, e = p = 0 nhưng có hằng số vũ trụ tương ứng Λ > 0 , Λ < 0 {\displaystyle \Lambda >0,\Lambda <0} .

Sóng hấp dẫn

Khi coi hệ phương trình trường Einstein (281) là một tập các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến bậc hai sẽ không dễ để nhận ra phương trình có chứa các nghiệm hoạt động như dạng sóng. Quả thực, khái niệm sóng hấp dẫn viết dưới dạng nghiệm của phương trình trường Einstein là phương trình sóng đồng nhất và tuyến tính chỉ đúng dưới một số giả sử nhất định, như không thời gian chân không và tiệm cận phẳng, với chế độ tuyến tính hóa và chuẩn phù hợp (suitable gauge). Nếu loại bỏ những giả sử này, định nghĩa về sóng hấp dẫn trở lên khó hơn nhưng vẫn là có thể được. Tuy nhiên cũng nên chú ý rằng trong trường hợp này sóng hấp dẫn vẫn không phải là trường hợp kỳ lạ. Thực tế, bất kỳ hiện tượng kiểu sóng nào có thể miêu tả dưới dạng phương trình sóng thuần nhất chỉ trong một số giả sử đơn giản hóa, như đòi hỏi một nền đồng đều cho trường lan truyền như một sóng.

Những suy sét này gợi cho việc tìm kiếm nghiệm kiểu sóng đối với phương trình trường Einstein là nên thử trong một không thời gian có độ cong rất nhỏ và nguyên tố đoạn là của không thời gian phẳng nhưng có độ lệch độ cong không thời gian

g μ ν = η μ ν + h μ ν + O ( ( h μ ν ) 2 ) {\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }+{\mathcal {O}}((h_{\mu \nu })^{2})}

(277)

nơi chế độ tuyến tính hóa được đảm bảo bằng điều kiện | h μ ν | < < 1 {\displaystyle |h_{\mu \nu }|<\!\!<1} . Trước khi viết phiên bản tuyến tính hóa của phương trình (218) ta cần phải đưa ra dạng tuyến tính hóa của ký hiệu Christoffel. Trong cơ sở tọa độ Decartes, chúng ta nhớ lại biểu thức tổng quát cho liên thông affine cho bởi phương trình (165) với đạo hàm từng phần được tính trực tiếp bằng

∂ β g ν α = ∂ β η ν α + ∂ β h ν α = ∂ β h ν α {\displaystyle \partial _{\beta }g_{\nu \alpha }=\partial _{\beta }\eta _{\nu \alpha }+\partial _{\beta }h_{\nu \alpha }=\partial _{\beta }h_{\nu \alpha }}

(278)

Do vậy ký hiệu Christoffel dưới dạng tuyến tính hóa viết thành

Γ μ α β = 1 2 η μ ν ( ∂ β h ν α + ∂ α h ν β − ∂ ν h α β = 1 2 ( ∂ β h μ α + ∂ α h μ β − ∂ μ h α β ) {\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }={\frac {1}{2}}\eta ^{\mu \nu }(\partial _{\beta }h_{\nu \alpha }+\partial _{\alpha }h_{\nu \beta }-\partial _{\nu }h_{\alpha \beta }={\frac {1}{2}}(\partial _{\beta }h^{\mu }{}_{\alpha }+\partial _{\alpha }h^{\mu }{}_{\beta }-\partial ^{\mu }h_{\alpha \beta })}

(279)

Chú ý rằng thao tác nâng và hạ chỉ số trong biểu thức (279) không thực hiện qua các mêtric g μ ν , g μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu },g^{\mu \nu }} mà qua các mêtric không thời gian η μ ν , η μ ν {\displaystyle \eta _{\mu \nu },\eta ^{\mu \nu }} . Đây chỉ là hệ quả của xấp xỉ tuyến tính và mặc dù thế, không thời gian thực sự là cong.

Một khi ký hiệu Christoffel dạng tuyến tính hóa đã được tính toán, biểu thức cho tenxơ Ricci dạng tuyến tính cũng sẽ tìm được

R μ ν = ∂ α Γ α μ ν − ∂ ν Γ α μ α = 1 2 ( ∂ α ∂ ν h μ α + ∂ α ∂ μ h ν α − ∂ α ∂ α h μ ν − ∂ μ ∂ ν h ) {\displaystyle R_{\mu \nu }=\partial _{\alpha }\Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \nu }-\partial _{\nu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \alpha }={\frac {1}{2}}(\partial _{\alpha }\partial _{\nu }h_{\mu }{}^{\alpha }+\partial _{\alpha }\partial _{\mu }h_{\nu }{}^{\alpha }-\partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }h_{\mu \nu }-\partial _{\mu }\partial _{\nu }h)}

(280)

trong đó

h := h α α = η μ α h μ α {\displaystyle h:=h^{\alpha }{}_{\alpha }=\eta ^{\mu \alpha }h_{\mu \alpha }}

(281)

là vết của phần nhiễu loạn mêtric. Độ cong vô hướng Ricci khi đó bằng

R = g μ ν R μ ν ≃ η μ ν R μ ν {\displaystyle R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }\simeq \eta ^{\mu \nu }R_{\mu \nu }}

(282)

Sử dụng các kết quả của (281) và (282), phương trình trường Einstein (218) viết lại dưới dạng tuyến tính hóa là

∂ α ∂ ν h μ α + ∂ α ∂ μ h ν α − ∂ α ∂ α h μ ν − ∂ μ ∂ ν h − η μ ν ( ∂ α ∂ β h α β − ∂ α ∂ α h ) = 16 π T μ ν {\displaystyle \partial ^{\alpha }\partial _{\nu }h_{\mu \alpha }+\partial ^{\alpha }\partial _{\mu }h_{\nu \alpha }-\partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }h_{\mu \nu }-\partial _{\mu }\partial _{\nu }h-\eta _{\mu \nu }(\partial ^{\alpha }\partial ^{\beta }h_{\alpha \beta }-\partial ^{\alpha }\partial _{\alpha }h)=16\pi T_{\mu \nu }}

(283)

Mặc dù đã là dạng tuyến tính hóa, phương trình Einstein (283) dường như chưa cho thấy dạng của phương trình sóng. Để làm điều này, chúng ta cần thực hiện thêm một biến đổi nữa, đưa phương trình về dạng gọn hơn, bằng cách sử dụng "tenxơ vết tự do" định nghĩa bằng

h ¯ μ ν = h μ ν − 1 2 η μ ν h {\displaystyle {\bar {h}}_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}\eta _{\mu \nu }h}

(284)

với toán tử gạch ngang mũ trong (284) có thể áp dụng cho bất kỳ tenxơ đối xứng nào, ví dụ R ¯ μ ν = G μ ν {\displaystyle {\bar {R}}_{\mu \nu }=G_{\mu \nu }} và lặp lại h ¯ μ ν ¯ = h μ ν {\displaystyle {\bar {{\bar {h}}_{\mu \nu }}}=h_{\mu \nu }} .[72] Sử dụng biến đổi này, phương trình Einstein (283) viết thành dạng gọn hơn

− ∂ α ∂ α h ¯ μ ν − η μ ν ∂ α ∂ β h ¯ α β + ∂ α ∂ μ h ¯ ν α = 16 π T μ ν {\displaystyle -\partial ^{\alpha }\partial _{\alpha }{\bar {h}}_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\partial ^{\alpha }\partial ^{\beta }{\bar {h}}_{\alpha \beta }+\partial ^{\alpha }\partial _{\mu }{\bar {h}}_{\nu \alpha }=16\pi T_{\mu \nu }}

(285)

với số hạng thứ nhất trong vế trái của phương trình (285) có thể dễ dạng nhận ra đó là toán tử d'Alembert ∂ α ∂ α h ¯ μ ν = ◻ h ¯ μ ν {\displaystyle \partial ^{\alpha }\partial _{\alpha }{\bar {h}}_{\mu \nu }=\Box {\bar {h}}_{\mu \nu }} . Đến bước này, có thể khai thác tính tự do chuẩn (gauge freedom) của thuyết tương đối rộng để viết lại phương trình (285) thành dạng thuận tiện hơn. Cụ thể, nhờ chuẩn tự do cho phép chọn phần nhiễu loạn mêtric h μ ν {\displaystyle h_{\mu \nu }} bị loại bỏ trong phương trình (285) và thu được phương trình dạng sóng. Nổi bật nhất là, phần nhiễu loạn của mêtric có thể được chọn sao cho

∂ α h ¯ μ α = 0 {\displaystyle \partial _{\alpha }{\bar {h}}^{\mu \alpha }=0}

(286)

Nhờ biến đổi chuẩn (286), còn gọi là chuẩn Lorenz (hay chuẩn Hilbert),[73] phương trình trường tuyến tính hóa thu được

◻ h ¯ μ ν = − 16 π T μ ν {\displaystyle \Box {\bar {h}}_{\mu \nu }=-16\pi T_{\mu \nu }}

(287)

và áp dụng đối với chân không

◻ h ¯ μ ν = 0 {\displaystyle \Box {\bar {h}}_{\mu \nu }=0}

(288)

Phương trình (288) chỉ ra rằng, trong chuẩn Lorenz, phần mêtric nhiễu loạn lan truyền như dạng sóng làm biến dạng không thời gian phẳng.

Nghiệm đơn giản nhất của phương trình Einstein tuyến tính hóa (288) đó là nghiệm sóng phẳng có phương trình

h ¯ μ ν = A μ ν e x p ( i κ α x α ) {\displaystyle {\bar {h}}_{\mu \nu }=A_{\mu \nu }exp(i\kappa _{\alpha }x^{\alpha })}

(289)

và tất nhiên chúng ta chỉ quan tâm tới phần thực của (289) với A là tenxơ biên độ sóng, κ {\displaystyle \kappa } là bốn-vectơ trống tức là nó thỏa κ α κ α = 0 {\displaystyle \kappa ^{\alpha }\kappa _{\alpha }=0} . Trong những nghiệm như thế, sóng phẳng (289) lan truyền trong hướng không gian k → = ( κ x , κ y , κ z ) / κ 0 {\displaystyle {\overrightarrow {k}}=(\kappa _{x},\kappa _{y},\kappa _{z})/\kappa _{0}} với tần số ω = κ 0 = ( κ j κ j ) 1 / 2 {\displaystyle \omega =\kappa ^{0}=(\kappa _{j}\kappa ^{j})^{1/2}} . Chú ý rằng tenxơ biên độ A về nguyên lý có 16 - 6 = 10 thành phần độc lập, nhưng dễ dàng nhận thấy chỉ có hai thành phần độc lập tương ứng với bậc tự do động lực của thuyết tương đối tổng quát. Sự giảm số lượng thành phần độc lập có thể giải thích một cách đơn giản. Đầu tiên, A và κ {\displaystyle {\boldsymbol {\kappa }}} không thể tùy ý nếu chúng được dùng để miêu tả một sóng phẳng, kết quả là điều kiện trực giao giữa hai đại lượng sẽ giới hạn 4 trong 10 thành phần của A (xem điều kiện (a) ở bên dưới). Thứ hai, đó là chuẩn Lorenz toàn cục đã được chọn (phương trình (286)) điều này không hoàn toàn cố định hệ tọa độ của lý thuyết tuyến tính. Phần chưa rõ còn lại, thực chất được bảo tồn thông qua sự thay đổi chuẩn tùy ý (arbitrary gauge change), thông qua phép biến đổi tọa độ vô cùng bé mà không bị giới hạn hoàn toàn ngay cả khi một chuẩn toàn cục đã được chọn. Để đánh giá đúng hơn điều này, xét một biến đổi tọa độ vô cùng bé bởi một bốn-vectơ dịch chuyển vô cùng bé ξ {\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}}

x α ′ = x α + ξ α {\displaystyle x^{\alpha '}=x^{\alpha }+\xi ^{\alpha }}

(290)

Áp dụng biến đổi này đối với mêtric (277) tạo ra một tenxơ mêtric mới, mà đối với bậc thấp nhất có dạng

g μ ′ ν ′ n e w = η μ ν + h μ ν o l d − ∂ μ ξ ν − ∂ ν ξ μ {\displaystyle g_{\mu '\nu '}^{new}=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }^{old}-\partial _{\mu }\xi _{\nu }-\partial _{\nu }\xi _{\mu }}

(291)

do vậy nhiễu loạn "mới" và "cũ" được liên hệ bởi biểu thức sau

h μ ′ ν ′ n e w = h μ ν o l d − ∂ μ ξ ν − ∂ ν ξ μ {\displaystyle h_{\mu '\nu '}^{new}=h_{\mu \nu }^{old}-\partial _{\mu }\xi _{\nu }-\partial _{\nu }\xi _{\mu }}

(292)

hay cách khác

h ¯ μ ′ ν ′ n e w = h μ ν o l d − ∂ μ ξ ν − ∂ ν ξ μ + η μ ν ∂ α ξ α {\displaystyle {\bar {h}}_{\mu '\nu '}^{new}=h_{\mu \nu }^{old}-\partial _{\mu }\xi _{\nu }-\partial _{\nu }\xi _{\mu }+\eta _{\mu \nu }\partial _{\alpha }\xi ^{\alpha }}

(293)

Để hệ tọa độ mới thỏa mãn điều kiện chuẩn Lorenz (277) ∂ α h ¯ μ α n e w = 0 {\displaystyle \partial ^{\alpha }{\bar {h}}_{\mu \alpha }^{new}=0} , đòi hỏi bốn vectơ dịch chuyển là nghiệm của phương trình sóng thuần nhất

∂ β ∂ β ξ α = 0 {\displaystyle \partial ^{\beta }\partial _{\beta }\xi ^{\alpha }=0}

(294)

Kết quả là vectơ sóng phẳng với thành phần

ξ α = − i C α e x p ( i κ β x β ) {\displaystyle \xi ^{\alpha }=-iC^{\alpha }exp(i\kappa _{\beta }x^{\beta })}

(295)

thông qua bốn-hằng số bất kỳ C α {\displaystyle C^{\alpha }} , sinh ra biến đổi chuẩn làm thay đổi bốn thành phần tùy ý của A cùng với điều kiện A . κ = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {A.\kappa }}=0} . Do vậy, A μ ν {\displaystyle A_{\mu \nu }} chỉ còn 10 - 4 - 4 = 2 thành phần độc lập tuyến tính, tương ứng với số bậc tự do trong thuyết tương đối rộng.[44] Chú ý rằng những xem xét này không phải là duy nhất đối với thuyết tương đối rộng và những lập luận tương tự cũng có thể thực hiện đối với điện động lực học cổ điển, nơi phương trình Maxwell là bất biến dưới phép biến đổi thế vectơ (vector potential) kiểu A μ → A μ ′ = A μ + ∂ μ Ψ {\displaystyle A_{\mu }\rightarrow A_{\mu '}=A_{\mu }+\partial _{\mu }\Psi } với Ψ {\displaystyle \Psi } là một hàm vô hướng bất kỳ, do vậy tenxơ điện từ tương ứng sẽ là F μ ′ ν ′ n e w = ∂ ν ′ A μ ′ − ∂ μ ′ A ν ′ = F μ ′ ν ′ o l d {\displaystyle F_{\mu '\nu '}^{new}=\partial _{\nu '}A_{\mu '}-\partial _{\mu '}A_{\nu '}=F_{\mu '\nu '}^{old}} . Tương tự, trong lý thuyết tuyến tính hóa thuyết tương đối rộng, biến đổi chuẩn trong (292) sẽ bảo tồn các thành phần của tenxơ Riemann R α β μ ν n e w = R α β μ ν o l d + O ( R 2 ) {\displaystyle R_{\alpha \beta \mu \nu }^{new}=R_{\alpha \beta \mu \nu }^{old}+{\mathcal {O}}(R^{2})} .

Tổng kết lại, cách thuận tiện để giới hạn các thành phần của tenxơ biên độ thông qua các điều kiện sau:

(a): Điều kiện trực giao: Bốn thành phần của tenxơ biên độ được xác định cụ thể nếu A và κ {\displaystyle \kappa } được chọn để trực giao, A μ ν κ ν = 0 {\displaystyle A_{\mu \nu }\kappa ^{\nu }=0} (b): Hệ tọa độ Lonrentz toàn cục: Giống như trong thuyết tương đối hẹp, có thể xác định một hệ tọa độ Lorentz toàn cục tương đối đối với một quan sát viên có bốn-vận tốc u. Trong trường hợp này, ba thành phần[74] của tenxơ biên độ có thể xác định sau khi chọn một bốn-vận tốc u trực giao với A, A μ ν u ν = 0 {\displaystyle A_{\mu \nu }u^{\nu }=0} .(c): Biến đổi chuẩn vô cùng bé: Thành phần cuối cùng của tenxơ biên độ có thể triệt tiêu sau khi chọn vectơ dịch chuyển vô cùng bé ξ μ = − i C μ e x p ( i κ β x β ) {\displaystyle \xi ^{\mu }=-iC^{\mu }exp(i\kappa _{\beta }x^{\beta })} sao cho A μ μ = 0 {\displaystyle A^{\mu }{}_{\mu }=0} .